Propiedades de la Esperanza Matemática, la Varianza y la Desviación Estándar en probabilidad.

Variable Aleatoria 

1) Investigar las principales propiedades de: 

• a. Esperanza Matemática 

              Propiedades de Esperanza (X)

1) Si X > 0 y existe E(X), entonces E(X) > 0

2) Si X es una variable aleatoria acotada entonces existe E(X).

3) Sea A un evento y 1ª la variable aleatoria definida por:

                          

4) Sea g: RR una función y consideraremos la nueva variable aleatoria

                                    Y=g(X).

5) Si existe E(X) entonces |E(X)| < (|X|).

6) Si & es una constante y E(X) existe, entonces también existe
                             
                                 E(&X) y E(&X)= &E(X).

7) SI X e Y son variables aleatorias que tiene valor esperado, entonces también existe el valor esperado de X+Y y si tiene E(X+Y)=E(X)+E(Y).

8) Si X < Y y existen E(X) y E(Y), entonces E(X) < E(Y).

9) Si X e Y son variables aleatorias independientes con valor esperado, entonces existe E(XY) y E(XY) = E (X) E(Y).

• b. Varianza Matemática 

Propiedades de Varianza (X)

1) Var (X) > 0
2) Var (C) = 0  C = constante
3) Var (CX) = C2 Var (X)
4) Var (X+C) = Var (X)
5) Var (X) = E (X2) – E2(X)
6) En General, Var(X+Y) diferente a Var(X) + Var (Y). La igualdad se cumple cuando X y
Y son independientes.

• c. Desviación Estándar o típica

A su vez la desviación típica, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza):

1ª.- La desviación típica es siempre un valor no negativo  S será siempre   diferente a 0 por definición. Cuando S = 0 X  = xi   (para todo i).
2ª.- Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.
3ª.- Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación típica no varía.
4ª.- Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación típica queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.

Ejemplo: 

Un laboratorio farmacéutico quiere vender sus medicamentos cual es la probabilidad que uno de los  4 hospitales se los compre:

Probabilidad:  Hospital 1 30%, Hospital 2 50%, Hospital 3 80% y Hospital 4 40%.

P (X=0) = (0.70)(0.50)(0.20)(0.60) = 0.042

P (X=1) = 0.30 

P (X=2) = (0.70)(0.50) = 0.35

P (X=3) = (0.70)(0.50)(0.80) = 0.28

P (X=4) = (0.70)(0.50)(0.20)(0.40) = 0.028

La probabilidad de que un hospital compre los medicamentos será:

Hospital 0: 0.042
Hospital 1: 0.30
Hospital 2: 0.35
Hospital 3: 0.28 
Hospital 4: 0.028 

Calcular Esperanza Matemática:

E(X) = 0(0.042)+1(0.30)+2(0.35)+3(0.28)+4(0.028)

E(X) = 1.952 

Propiedad de Esperanza Matemática:

Calcular Varianza 

Var(X) = [((0-1.952)2.(0.042))+((1-1.952)2.(0.30))+((2-1.952)2.(0.35))+((3-1.952)2.(0.28))+((4-1.952)2.(0.028))]

Var(X) = 0.160 + 0.271 + 0.0008 + 0.307 + 0.117

Var(X) = 0.8558 

Propiedad de Varianza: 

Var (X) > 0: demostramos que la varianza en mayor a 0

Var (X) = 0.8558 por lo tanto es mayor a 0

Calcular Desviación Estándar

DE(X) = (raiz cuadrada) 0.8558

DE(X) = 0.925

Propiedad de Desviación Estándar